К вопросу о точности восстановления параметров линейных динамических моделей с дискретным временем

Аннотация

Современные методы анализа социально-экономических процессов предполагают использование экономико-математических моделей, среди которых широкое распространение получили динамические модели с дискретным временем. Точность идентификации таких моделей существенно влияет на обоснованность результатов анализа и принимаемых на их основе решений. Исследуется задача о возможности и условиях получения гарантированных оценок точности восстановления параметров линейных динамических моделей с дискретным временем по результатам наблюдений за траекторией с учетом случайных ошибок таких наблюдений, имеющих различную природу (ошибки измерений, ошибки спецификации модели, внешние возмущения). Основное внимание уделяется возможности получения гарантированной оценки точности приближенного восстановления параметров линейных систем с дискретным временем и произвольной, но конечной памятью. Представлен обзор известных подходов и методов построения оценок параметров моделей векторной авторегрессии. В рамках эконометрического подхода все варианты методов построения оценок базируются на весьма сильных предположениях о характере случайных ошибок и возмущений (строгая экзогенность, ортогональность, некоррелированность, нормальная распределенность и т.п.). В таком случае речь может идти только о вариантах интервальных оценок для неизвестных параметров и построении доверительных интервалов, соответствующих заданному уровню доверия. Среди результатов, относящихся к исследованию поставленной задачи с точки зрения теории линейных разностных систем с дискретным временем, выделены работы, потенциально содержащие возможность оценки точности восстановления параметров системы. Однако в исследовании показано, что для всех работ этого направления общей является концепция, в рамках которой оценки находятся в результате решения сложной с точки зрения вычислений экстремальной задачи, что существенно затрудняет получение явных гарантированных оценок точности, выраженных в рамках общих ограничений относительно ошибок наблюдений. Новизну исследования составляют математически обоснованный авторский подход к решению задачи в строгом смысле при минимальных предположениях относительно ошибок наблюдений, в рамках которого сформулирована и доказана соответствующая теорема об оценке точности восстановления параметров, дано описание алгоритма и приведен иллюстрирующий пример. Предложенный подход и алгоритм позволяют решать задачу восстановления параметров динамических моделей по результатам наблюдений за моделируемым процессом с точностью, превосходящей точность обычно используемых процедур метода наименьших квадратов и его обобщений. При этом существенное отличие от известных результатов состоит в том, что в условиях доказанной теоремы точность оценок параметров гарантируется в строгом детерминированном смысле. Перспективы дальнейших исследований в этом направлении связаны с применением разработанного инструментария получения гарантированных оценок к анализу динамических моделей с дискретным и непрерывным временем (гибридные модели), включающих в систему как разностные уравнения с дискретным временем, так и уравнения с непрерывным временем в форме автономных функционально-дифференциальных уравнений. Решение этой задачи позволит добиться новых результатов в области идентификации эффектов последействий при моделировании реальных социально-экономических процессов.

Ключевые слова

динамические модели экономики, задачи идентификации, гарантированные оценки, разностные уравнения, системы c дискретным временем, моделирование социально-экономических процессов.

Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (договор № 02.G25.31.0039) и Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-01-0032).

Список литературы

1. Sims C.A. Macroeconomics and reality // Econometrica. 1980. Vol. 48. № 1. Р. 1–48.
2. Андрианов Д.Л. и др. Целевое управление процессами социально-экономического развития субъектов Российской Федерации: моделирование, информационное, математическое и инструментальное обеспечение. Пермь: Перм. гос. ун-т, 2008. 239 c.
3. Фурасов В.Д. Моделирование плохоформализуемых процессов. М.: Академия, 1997. 223 с.
4. Абакумова Ю.Г. Применение моделей векторной авторегрессии для исследования процентного канала трансмиссионного механизма монетарной политики Республики Беларусь // Экономика и управление. 2011. № 2 (26). С. 88‒94.
5. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. Пер. с англ. М.: Наука, 1977. 224 c.
6. Аоки М. Введение в методы оптимизации. Пер. с англ. М.: Наука, 1977. 334 c.
7. Ахиезер Н.И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М.: Физматгиз, 1961. 314 c.
8. Будянов В.П., Егоршин А.О. Сглаживание сигналов и оценивание динамических параметров с помощью ЦВМ // Автометрия. 1973. Т. 1. С. 78–82.
9. Максимов В.П. О гарантированной оценке восстановления коэффициентов линейной разностной системы // Известия вузов. Математика. 2015. № 10. С. 72–75.
10. Максимов В.П., Чадов А.Л. Гибридные модели в задачах экономической динамики // Вестник Пермского университета. Серия: Экономика. 2011. № 2 (9). С. 13–23.
11. Максимов В.П., Чадов А.Л. Об одном классе управлений для функционально-дифференциальной непрерывно-дискретной системы // Известия вузов. Математика. 2012. № 9. С. 71–75.
12. Chadov A., Maksimov V. Linear boundary value problems and control problems for a class of functional differential equations and discrete times // Functional Differential Equations. 2012. Vol. 19. № 1–2. P. 45–58.
13. Демиденко В.Г. Восстановление коэффициентов систем линейных разностных уравнений // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2010. Т. 10, вып. 2. C. 45–53.
14. Демиденко В.Г. Восстановление параметров однородной линейной модели динамики генной сети // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. 2008. Т. 8, вып. 3. С. 51–59.
15. Егоршин А.О. Вычислительные замкнутые методы идентификации линейных объектов // Оптимальные и самонастраивающиеся системы. Новосибирск: ИАиЭ СО АН СССР, 1971. С. 40–53.
16. Егоршин А.О. Метод наименьших квадратов и быстрые алгоритмы идентификации и фильтрации (метод ВИ) // Автометрия. 1988. Т. 1. С. 30–42.
17. Егоршин А.О. Об одном способе оценки коэффициентов моделирующих уравнений для последовательностей // Сибирский журнал индустриальной математики. 2000. Т. 3, № 2. С. 78–96.
18. Егоршин А.О. Идентификация стационарных моделей в унитарном пространстве // Автоматика и телемеханика. 2004. Т. 65 (12). С. 29–48.
19. Егоршин А.О. Об отслеживании параметров экстремума в вариационной задаче идентификации // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11, вып. 3. С. 95–114.
20. Егоршин А.О. О дискретизации линейных дифференциальных уравнений // Вестник ЮУрГУ. Серия: Математическое моделирование и программирование. 2012. Вып. 14. С. 59–72.
21. Егоршин А.О. Об одной оптимизационной задаче моделирования и идентификации динамического процесса // Методы оптимизации и их приложения: труды XI Байкальской междунар. школы-семинара. Иркутск, 1997. С. 73–77.
22. Egorshin A.O. On optimal identification and modeling problem // Identification and System Parameter Estimation: Proceedings IV IFAC Symp. Tbilisi, 1976. Amsterdam; New York; Oxford: North-Holland Publ. Co., 1978. Vol. 3. P. 2143–2154.
23. Будянов В.П., Егоршин А.О., Филиппова Н.П. О прямом подходе к задаче идентификации // Автометрия. 1976. Т. 2. С. 10–23.
24. Aoki M., Yue P.C. On a priori error estimates of some identification methods // IEEE Trans. Automat. Control. 1970. Vol. AC-15, № 5. P. 541–548.
25. Aoki M., Yue P.C. On certain convergence questions in system identification // SIAM Journal Control. 1970. Vol. 8, № 2. P. 239–256.
26. Canova F., Ciccarelli M. Estimating multi-country VAR models // ECB Working Paper Series. 2006. № 603. URL: http://ssrn.com/abstract_id=890987 (дата обращения: 12.02.2018).
27. Mutl J. Consistent estimation of global VAR models // Economics Series. 2009. № 234. P. 1–34.
28. Jonáš P. Robust estimation of the VAR Model // WDS'09 Proceedings of Contributed Papers. 2009. Part I. P. 143–147.
29. Rousseeuw P.J., Leroy A.M. Robust regression and outlier detection. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore: John Wiley & Sons, 1987. 346 p.
30. Rousseeuw P.J., Van Driessen K. A fast algorithm for the minimum covariance determinant estimator // Technometrics. 1999. Vol. 41. № 3. Р. 212–223.
31. Agulló J., Croux C., Van Aelst S. The multivariate least-trimmed squares estimator // Journal of Multivariate Analysis. 2008. Vol. 99. Iss. 3. P. 311–338.
32. Višek J.A. Regression with high breakdown point // ROBUST. 2000. P. 324–356.
33. Măs´ıček L. Diagnostika a senzitivita robustn´ıch model°u, PhD thesis, 2004. 103 p.
34. Jurczyk T. High breakdown point estimation in regression // WDS’08 Proceedings of Contributed Papers. 2008. Part I. P. 94–99.
35. Хатсон В., Пим Дж. Приложения функционального анализа и теории операторов. Пер. с англ. М.: Мир, 1983. 431 c.